多解析度分析(MRA)

- 4月 28, 2014

出處：WIKI

多解析度分析（multiresolution analysis, MRA）或是多尺度近似（multiscale approximation, MSA）是最常用來分析離散小波轉換〈DWT〉或是驗證快速小波轉換〈FWT〉理論的方法。本分析方法在1989年^[1]及1998年^[2]由Stephane Mallat 著作的論文提到。

定義:

取樣定理
取樣定理主要是在重建一個時間長度 $T$ 中被取樣過的信號：若信號是有限頻寬，只要奈奎斯特頻率（Nyquist frequency）比1/ $T$ 小及可完整重建信號；否則得到的重建信號為近似的信號。因此可以說，愈小的 $T$ 使得信號的重建愈容易， $T$ 的大小將決定信號解析度，同時，取樣頻率也受到， $T$ 的限制。

概念
倘若一個信號具有變化速度差異大的區段，像是信號快速變化的區段穿插著變化平緩的區段，則上述單一解析度將不適用於分析信號。因此，多重解析度分析的概念因此而生。將信號在不同解析度上分析。

定義
令為在函數空間裡的子空間的數列，假如
1. 分簇性(nested)： $\dots\subset V_0\subset V_1\subset\dots\subset V_n\subset V_{n+1}\subset\dots\subset L^2(\R)$
2. 稠密性(density)： $\bar{\dots\cup V_{-1}\cup V_0\cup V_1\cup\dots} = L^2(R)$
3. 分離性(seperation)： $\dots\cap V_{-1}\cap V_0\cap V_1\cap\dots = {0}$
4. 調節性(scaling)： $f(2^{-j}x)\in V_0\leftrightarrow f(x)\in V_j$
5. 正規正交基底(orthonormal basis)： $\phi\in V_0$ 且集合 $\left\{\phi(x-k),k\in Z\right\}$ 為 $V_0$ 的一正規正交基底。
則 $\left\{V_j,j\in Z\right\}$ 為帶有調整函數 $\phi$ 的多解析度分析。